2023 ne sera pas bissextile puisque seules les années divisibles par 4 et non multiples de 100 le sont, avec un 29 février et 366 jours dans le calendrier grégorien (mais celles divisibles par 400 le sont). Ainsi, 2020 était une année bissextile, de même que 2024 le sera... 2000 a eu un 29 février alors que 1900 ou 1800 non !

Cette subtilité permet de compenser la différence de temps entre l’année calendaire et le temps de révolution de la Terre autour du Soleil qui est précisément de 365,242 jours. Dès les romains, il était d’usage d’ajouter une journée à l’année de temps en temps, mais c’est en 45 avant l’ère chrétienne que Jules César va fixer l’année à 365 jours plus un an tous les 4 ans.

Mais alors, est-ce un nombre particulier ? Se distingue-t-il d’une quelconque manière ?

Par exemple, peut-on le décomposer en plus petits nombres, des entiers ? Autre que « 1 » et lui-même... Étant impair, il ne sera pas divisible par deux. Vous reconnaitrez facilement qu’il n’est pas non plus divisible par « 3 » en additionnant 2+0+2+3=7 qui n’est pas multiple de 3. Pour être divisible par « 5 » le nombre aurait dû se terminer par 5 ou une dizaine... mais du coup il l’est par « 7 », le résultat donnant 289, c’est à dire 17x17. Or « 17 » est aussi un nombre « premier » c’est à dire divisible par lui-même et 1 uniquement. D’où l’écriture simplifiée 2023 = 7x17x17 = 7x172. Pour en savoir plus sur les nombres premiers, suivez-le guide !

Comme tout nombre entier, il peut s’écrire comme la somme d’entiers consécutifs, qui se suivent : étant impair, de sa division par 2 il reste 1 -ce qui s’écrit aussi « modulo 2 » ou  mod2=1, d'où 2023 = 1011 + 1012. En fait, on peut même montrer que tous les nombres impairs peuvent s’écrire comme n+(n+1). Si vous calculez le reste de la division par 3 (mod 3 = 2), il apparaît que 2023 ne peut être la somme de trois entiers consécutifs car il ne peut s’écrire comme a = n + (n+1) + (n+2) qui est équivalent à dire a = 3n+3 = 3 (n+1) donc divisible par 3 ; en fait 2023 peut s’écrire comme les sommes de 7, 14 ou de 17 nombres entiers consécutifs :

Par exemple 2023 = 286+287+288+289+290+291+292 ou encore 138+139+140+141+142+143+144+145+146+147+148+149+150+151

Mais si vous voulez en être sûr, retrouvez Parlons de Sciences #13 un entier somme d’entiers consécutifs avec Ilme Grüner, professeur agrée de mathématiques à la faculté de Droits, Économie, Gestion de l’Université d’Orléans.

Et 2023 peut-il être la somme de 1+2+3+4+...+k ?

À cette question, on pouvait déjà répondre 5 siècles avant notre ère, avec l’école de Pythagore ! En effet, placez un caillou, puis ajoutez-en deux, puis 3 et vous aurez déjà 6 cailloux formant une jolie pyramide. Ce sont des nombres triangulaires, une représentation figurée des nombres sous forme de polygones. Prenez donc au moins 2023 petits cailloux pour en faire l’expérience. Mais si vous voulez gagner du temps, raisonnez en remarquant que le n-ième nombre suivant s’obtient en ajoutant n au précédent : les premiers sont donc 1, 3, 6, 10, 15, 21... le 10^ième sera 55 et s’écrivent tous ainsi n(n+1)/2 pour le n-ième nombre triangulaire. Un rapide calcul vous révèle alors que la dernière année à appartenir au nombre triangulaire était 2016 = 63*64/2 et donc la prochaine fois sera en 2080 !

Mais si vous êtes joueur, peut-être avez-vous remarqué qu’il était plus simple d’empiler vos cailloux comme des oranges, format ainsi une pyramide triangulaire. Elle commence par 1, puis 3 au second niveau, puis 6 au troisième, 10 au 4^ième... cela ne vous rappelle rien ? Cette fois ci ils s’écrivent n(n+1)(n+2)/6 au n-ième rang et la prochaine fois ce sera en 2024 (22x23x24/6) et vous aurez 22 rangs empilés... cela n’était pas arrivé depuis 1771 !

Vous trouvez que vos petits cailloux ou vos oranges tiennent mieux en construisant une pyramide à base carré ? Alors à vous de trouver la progression. Elles sont toutes construites avec ce principe qu’un terme dépend des précédents, ce qu’on appelle une récurrence, où le futur dépend de la somme des états passés et du présent.

Parmi ces suites récurrentes, l’un des plus fameuses est composée de la somme des deux états précédents : F_n+2 = F_n+1 + F_n et doit son nom à Léonardo Fibonacci, un mathématicien italien (1170-1250). La suite de Fibonacci s’écrit alors : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... et progresse si rapidement qu’il y a peu de chance de fêter ainsi la nouvelle année (en 987, 1597, ou en 2584), à moins d’observer la fréquence des mathématiques dans la nature, avec cette progression dans la croissance des plantes, les spirales des pommes de pins, des fleurs de tournesol ou d'un ananas. Pour en savoir plus, retrouvez les ressources de Centre•Sciences.

Et à l'ère du numérique ?

Au-delà de ces approches mathématiques, on remarquera que l’écriture binaire de 2023 (en base 2) est 11111100111 c’est à dire 2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+0x2⁴+0x2³+2²+2¹+2⁰Au lieu de comptez en base 10, votre ordinateur contera ici en base 2, avec 1+1=10

• Divisons 2023 par 2, le quotient est 1011, le reste 1 ;
• Divisons 1011 par 2, le quotient est 505, le reste 1 ;
• Divisons 505 par 2, le quotient est 252, le reste 1 ;
• Divisons 252 par 2, le quotient est 126, le reste 0 ;
• Divisons 126 par 2, le quotient est 63, le reste 0 ;
• Divisons 63 par 2, le quotient est 31, le reste 1 ;
• Divisons 31 par 2, le quotient est 15, le reste 1 ;
• Divisons 15 par 2, le quotient est 7, le reste 1 ;
• Divisons 7 par 2, le quotient est 3, le reste 1 ;
• Divisons 3 par 2, le quotient est 1, le reste 1 ;
• Divisons 1 par 2, le quotient est 0, le reste 1.

Mais si le binaire répond à l'état allumé 1 ou éteint d'un circuit 0, les informations sont codées en octets (8 bits) pour lesquels un langage hexadécimale (base 16) sera plus compact : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F. Écrire 2024 sera alors un jeu d'enfant : 

• Divisons 2023 par 16, le quotient est 126, le reste 7 ;
• Divisons 126 par 16, le quotient est 7, le reste 14=E ;
• Divisons 7 par 16, le quotient est 0, le reste 7 ;
• 2023 s'écrira donc 7E7 dans les lignes de codes de vos voeux numériques !

En vous souhaitant une très bonne année, riche d’émotions et de curiosités pour les sciences, n’hésitez pas à partager vos remarques et suggestions.

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